Question

Помогите, пожалуйста, очень срочно нужно
Обследовать ряд на сходимость

Answer 1

Ответ:

Ряд расходится

Объяснение:

$\dfrac{1}{2^n}>0\;\;\;\forall n\Rightarrow arctg\dfrac{1}{2^n}>0$

Значит, ряд знакоположительный.

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\frac{(3(n+1)+1)^2}{(2(n+1))!}arctg\frac{1}{2^{n+1}}}{\frac{1}{(2n)!}arctg\frac{1}{2^{n}}}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(3n+4)^2arctg\frac{1}{2^{n+1}}}{(2n+1)(2n+2)arctg\frac{1}{2^{n}}}=\\ =\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(3n+4)^2\frac{1}{2^{n+1}}}{(2n+1)(2n+2)\frac{1}{2^{n}}}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(3n+4)^2}{2(2n+1)(2n+2)}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(3+\frac{4}{n})^2}{2(2+\frac{1}{n})(2+\frac{2}{n})}=$

$=\dfrac{3^2}{2*2*2}=\dfrac{9}{8}>1$

Значит, по признаку Д'Аламбера, ряд расходится