Question

Задано линейное неоднородное дифференциальное уравнение
второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение,
которое удовлетворяет приведенным начальным условиям.

Answer 1

Відповідь:

у=1/2+1/2е^2х-1/2х^2-х

Покрокове пояснення:

у"-2у'=0

р^2-2р=0

р1=0; р2=2

у=С1+С2×е^2х

у(0)=1; у'(0)=1

у(0)=С1+С2=1

у'(0)=2С2=1

С2=1/2; С1=1/2

у=1/2+1/2е^2х

у~=Ах^2+Вх+Д

у~'=2Ах+В

у~"=2А

у~"-2у~'=2х+1

2А-4Ах-2В=2х+1

-4А=2

2А-2В=1

Тому А=-1/2, В=-1

у=1/2+1/2е^2х-1/2х^2-х

Answer 2

Ответ: Y ( x ) = e²ˣ - 1/2 x² - x .

Пошаговое объяснение:

y'' - 2y' = 2x + 1 ; y( 0 ) = 1 , y'( 0 ) = 1 ;

розв"язуємо відповідне однорідне диф. рівняння : у''- 2y' = 0 . Його характеристичне рівняння k² - 2k = 0 ;

k ( k - 2 ) = 0 ; k₁ = 0 ; k₂ = 2 , тому

у = C₁ e⁰°ˣ + C₂e²ˣ = C₁ + C₂e²ˣ - це загальний розв"язок однорід. рівняння .

частинний розв"язок шукаємо у вигляді : у ₁ = х ( Ах + В ) = Ах² + Вх .

y'₁ = 2Ax + B ; y''₁ = 2A . Підставляємо у початкове рівняння :

2А - 4Ах - 2В = 2х + 1 ; звідси

{ 2A - 2B = 1 ,

{ - 4A = 2 ; A = - 1/2 ; - 1 - 2B = 1 ; 2B = - 2 ; B = - 1 ;

y ₁ = - 1/2 x² - x .

Загальний розв"язок початкового рівняння буде

Y( x ) = C₁ + C₂e²ˣ - 1/2 x² - x .

При у ( 0 ) = 1 = С₁ + С₂ * е⁰ - 1/2 * 0² - 0 ; С₁ + С₂ = 1 ;

Y'( x ) = 0 + 2C₂ * e²ˣ - x - 1 = 2C₂ * e²ˣ - x - 1 ;

Y' ( 0 ) = 2C₂* e⁰ - 0 -1 = 2C₂ - 1 = 1 ; 2C₂ = 2 ; C₂ = 1 . C₁ = 1 - 1 = 0 .

Y ( x ) = e²ˣ - 1/2 x² - x . --- це відповідь .