Question

Помогите с решением
Обчислити интеграли

Answer 1

1) 2x²yy'+y²-2=0; x²(y²-2)'+y²-2=0;

$\frac{d(y^2-2)}{y^2-2}=-\frac{dx}{x^2};\ d\ln|y^2-2|=d(\frac{1}{x}+C);\y^2-2=\pm e^{1/x}\cdot e^C;\ \pm e^C=C_1\not= 0;$

$y^2-2=C_1e^{1/x}.$

Потерянные решения $y=\pm \sqrt{2};$ они вписываются в общее решение, если отбросить ограничение $C_1\not =0.$

Ответ: $y=\pm\sqrt{Ce^{1/x}+2}$

2) $(x^2y^3+5x^2)\, dx +(x^3y^2+5y^2)\, dy=0; \frac{1}{3}(3x^2y^3\, dx+3y^2x^3\, dy)+\frac{5\, d(x^3+y^3)}{3}=0;$

$\frac{y^3\, dx^3+x^3\, dy^3}{3}+\frac{5\, d(x^3+y^3)}{3}=0;\ d(x^3y^3)+5\, d(x^3+y^3)=0;\ d(x^3y^3+5x^3+5y^3)=0;$

$d((x^3+5)(y^3+5))=0;\ (x^3+5)(y^3+5)=C.$

Используем начальные условия: x=0, y=1; 5(1+5)=C; C=30.

Ответ: (x³+5)(y³+5)=30.