Question

Найти общее решение дифференциальных уравнений

Answer 1

Ответ:

Это однородные линейные ДУ

везде замена:

$y = {e}^{kx}$

а)

$y'' + 2y' + y = 0 \\ {k}^{2} + 2 k + 1 = 0 \\ (k + 1) {}^{2} = 0 \\ k_{1,2} = - 1 \\ y = C_1e {}^{ - x} + C_2 {e}^{ - x} x$

б)

$y'' - y' - 12y = 0 \\ k {}^{2} - k - 12 = 0\\ D= 1 + 48 = 49\\ k_1 = \frac{1 + 7}{2} = 4 \\ k_2 = - 3 \\ \\ y = C_1 e {}^{4x} + C_2 {e}^{ - 3x}$

в)

$y'' + 25y = 0 \\ {k}^{2} + 25 = 0 \\ k = \pm5i \\ \\ y = C_1 \sin(5x) + C_2 \cos(5x)$