Question

Даю 15 баллов~✨


Реши уравнение 2sin²x + 3sinx × cosx – 2cos² х = 0 и назови корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 2π]​

Answer 1

Ответ:

$\arctg \tfrac{1}{2}; \: \pi {- } \arctg 2; \qquad \\ \: \pi {+ }\arctg \tfrac{1}{2}; \: \: 2\pi {-} \arctg 2,$

Пошаговое объяснение:

Разделим на cos²x обе части

(соs x = 0 не является корнем уравнения, т.к.

при cos x левая часть равна 2 + 0 - 0 = 2)

$\\ \small2 \sin^{2} x + 3 \sin x\cos x - 2 \cos^{2} x = 0 \big| :cos^{2}x \\ \small{\frac{2\sin^{2}}{cos^{2}x} x + \frac{ 3 \sin x \cdot\cancel{\cos x}}{cos^{ \cancel{ \: 2 \: }}x} - \frac{2 \cdot\cancel{\cos^{2}} x}{\cancel{\cos^{2} x} } = 0 } \\ \small{\frac{2\sin^{2}}{cos^{2}x} x + \frac{ 3 \sin x }{cos x} - 2 = 0 } \\ 2 \tg^{2} {x} + 3 \tg{x} - 2 = 0$

Замена: t = tg x

$2 {t}^{2} + 3t - 2 = 0 \\ D = 3^2-4\cdot2\cdot(-2) = 9 + 16 = 25 > 0\\ t= \frac{ -3 \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 2} = \frac{ -3 \pm 5}{4}$

$t_1 = \frac{ -3 - 5}{4} = - 2 \\ t_2 = \frac{ -3 + 5}{4} = \frac{1}{2}$

Обратная замена:

$1) \: \tg{x}_1 = - 2 \: = > {x}_1 = \arctg( - 2) + \pi {\cdot}k \\ x = \pi {\cdot}k - \arctg 2, \: k \in \Z \\ \small \: x \in [0; 2\pi] , \; \arctg 2\:\in [0; \frac{\pi}{2}] = > k = \{ 1;2\} \\ x = \pi - \arctg 2; \: \: x = 2\pi - \arctg 2, \\ \\ \tg{x_2} = \frac{1}{2} \: = > x = \arctg \tfrac{1}{2} + \pi {\cdot}n , \; n \in \Z \\ \small \: x \in [0; 2\pi] , \; \arctg \frac{1}{2} \:\in [0; \frac{\pi}{2}] = > n = \{ 0;1\} \\ x = \arctg \tfrac{1}{2}; \: \: x = \pi + \arctg \tfrac{1}{2}$

Ответ

$\arctg \tfrac{1}{2}; \: \pi {- } \arctg 2; \qquad \\ \: \pi {+ }\arctg \tfrac{1}{2}; \: \: 2\pi {-} \arctg 2,$