Question

ничего непонятно написано. какие-то системы. нельзя просто решить и написать ОДЗ? Вот почему здесь ответ именно -2, а не 3? Почему пишут сначала -x>0, а потом x<0, как это определять и знать, когда x больше или меньше нуля​

Answer 1

Ответ:

$2\, lg(-x)=lg(x+6)$

Решение можно писать в виде системы или по отдельности писать ОДЗ и решение с учётом ОДЗ .

Кстати, в этом решении не учтено ОДЗ для  логарифма из правой части . Поэтому решение здесь имеет недочёт .

Итак, мы ЗНАЕМ (!) , что аргумент логарифма строго больше 0, поэтому в ОДЗ входят два неравенства:  

$\left\{\begin{array}{l}-x>0\\x+6>0\end{array}\right$    При умножении 1 неравенства на (-1), чтобы получить чистый "х" , знак неравенства меняется на противоположный, поэтому

$\left\{\begin{array}{l}-x>0\ |\cdot (-1)\\x+6>0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x<0\\x>-6\end{array}\right\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ ODZ:\ \boxed {\ -6<x<0\ }$

Теперь пользуемся свойством логарифма:   $k\cdot log_{a}x=log_{a}x^{k}$  ,  поэтому

$lg(-x)^2=lg(x+6)$  .

Но   $(-x)^2=\Big((-1)\cdot x\Big)^2=(-1)^2\cdot x^2=+1\cdot x^2=x^2$  ,  значит уравнение

примет вид:   $lg(x^2)=lg(x+6)$  .

Если равны логарифмы, то равны и их аргументы, то есть имеем

$x^2=x+6\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x^2-x-6=0\ \ ,\ \ D=1+4\cdot 6=25\ \ ,\\\\x_1=\dfrac{1-5}{2}=-2\ \ ,\ \ x_2=\dfrac{1+5}{2}=3$

Получили два значения переменной "х". Но только одно значение входит в ОДЗ, а именно   $-6<(-2)<0$  ,  -2 ∈ (-6;0) .Число  "3" в этот промежуток не входит:  3 ∉ (-6:0) .

Ответ:  х= -2 .

P.S.  Ещё объясню по другому, почему из  $-x>0$   следует   $x<0$  .

Если рассматривать  (-х) как произведение  (-1) на "х" , то становиться понятно, что (-1) надо умножить на отрицательное выражение, чтобы в результате получить положительное, так как "минус, умноженный на минус даёт плюс" .