В тетраэдре ABCD на ребре AB взята точка M, а на ребре CD точки N и P так, что BM=1/4BA, CN=DP=1/4CD. Первое сечение проведено через точки M и N параллельно BD, второе сечение – через точки M и P параллельно AD.
Постройте сечения, их линию пересечения и определите отношение площадей частей, на которые она разделяет второе сечение.
Ответы
Ответ:
Sktm/Stplm = 7/5.
Объяснение:
Построение сечения дано в приложении.
Остается найти отношение площадей треугольника КТМ и трапеции TPLM.
Sktm = (1/2)·KT·h, где h - перпендикуляр из точки М к прямой КР.
Stplm = (1/2)·(ML+TP)·h, где h - тот же перпендикуляр.
Из подобия треугольников ADB и MLB => NL = (1/4)·AD.
В треугольнике RND отрезок ТР = (2/3)·RD, так как ТР║RD, а
NP/ND = (2/4):(3/4) = 2/3.
Но RD = (1/4)·AD (по теореме Фалеса: cтороны угла DAB делятся параллельными RM и DB в отношении 3:1 - дано).
Тогда ТР = (2/3)·(1/4)·AD = (1/6)·AD.
Stplm = (1/4+1/6)·AD·h/2 = (5/24)·AD·h.
Из подобия треугольников ACD и CКР имеем: КР = (3/4)·AD.
ТР = (1/6)·AD.(найдено ранее).
Тогда КТ = КР - ТР = (3/4 - 1/6)·AD.
Sktm = (1/2)·(7/12)·AD·h = (7/24)·AD·h. =>
Sktm/Stplm = (7/24)/(5/24) = 7/5.
