Question

Найти решение дифференциального уравнения нужен 47 номер

Answer 1

Ответ:

$y'' - 5y'+ 6y = 3x + 2 \\ y(0) = 0,y(0) = 1$

1. Решаем ОЛДУ:

$y'' - 5y' + 6y = 0\\ y = {e}^{kx} \\ \\ k {}^{2} - 5k + 6 = 0 \\ D = 25 - 24 = 1\\ k_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \\ k_2 = 2 \\ y = C_1 {e}^{3x} + C_2e {}^{2x}$

2. Подбираем у с неопределенными коэффициентми

$у = ax + b \\ у' = a \\ у ''= 0$

$0 - 5a + 6ax + 6b = 3x + 2 \\ \\ \left \{ {{6a = 3} \atop {5a + 6b = 2} } \right. \\ \\ \left \{ {{a = \frac{1}{2} } \atop {b = \frac{ 2 - 5a}{6}} = \frac{1}{6} (2 - \frac{5}{2} ) } \right. \\ \\ \left \{ {{a = \frac{1}{2} } \atop {b = \frac{1}{6} } \times ( - \frac{1}{2}) = - \frac{1}{12} } \right.$

$у = \frac{x}{2} - \frac{1}{12}$

Общее решение:

$y = C_1 {e}^{3x} + C_2 {e}^{2x} + \frac{x}{2} - \frac{1}{12}$

$y(0) = 0,y(0) = 1$

$y, = 3C_1 {e}^{3x} + 2 C_2 {e}^{2x} + \frac{1}{2}$

$\left \{ {{C_1 + C_2 - \frac{1}{12} = 0 } \atop {3C_1 + 2C_2 + \frac{1}{2} = 1} } \right. \\ \\ \left \{ {{C_1 = \frac{1}{12} - C_2} \atop { \frac{1}{4} - 3C_2 + 2C_2 = \frac{1}{2} } } \right. \\ - C_2 = - \frac{1}{4} \\ C_2 = \frac{1}{4} \\ \\ \left \{ {{C_2 = \frac{1}{4} } \atop {C_1 = \frac{1}{12} - \frac{1}{4} } = - \frac{1}{6} } \right.$

Частное решение

$y = - \frac{1}{6} {e}^{3x} + \frac{1}{4} {e}^{2x} + \frac{x}{2} - \frac{1}{12}$