Question

4 вариант (1.2.3)
определение числового ряда сходимости

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ \sum\limits _{n=1}^{\infty }\, \dfrac{n}{10n-3}\\\\\\Neobxod. prinak:\ \ \lim\limits_{n \to \infty}a_{n}= \lim\limits_{n \to \infty}\, \dfrac{n}{10n-3}=\dfrac{1}{10}\ne 0\ \ \Rightarrow \ \ rasxoditsya$

Предел отношения многочленов одной степени равен отношению коэффициентов при старших степенях .

$2)\ \ \sum\limits _{n=1}^{\infty }\, \Big(\dfrac{n+1}{n}\Big)^{n}\\\\\\\lim\limits _{n \to \infty}\Big(\dfrac{n+1}{n}\Big)^{n}=\lim\limits _{n \to \infty}\Big(1+\dfrac{1}{n}\Big)^{n}=e\ne 0\ \ ,\ \ \ rasxoditsya$

Использовали второй замечательный предел .

$3)\ \ \sum \limits _{n=1}^{\infty }n\cdot ln\Big(1+\dfrac{1}{4n}\Big)\\\\\\\lim\limits _{n \to \infty}n\cdot ln\Big(1+\dfrac{1}{4n}\Big)=\lim\limits _{n \to \infty}n\cdot \dfrac{1}{4n}=\dfrac{1}{4}\ne 0\ \ ,\ \ \ rasxoditsya$

$\star \ \ ln(1+\alpha (x))\sim \alpha (x)\ ,\ \ \alpha (x)\to 0\ \ \star$