Question

найти решение задачи Коши

Answer 1

Ответ:

$y '- 4xy = - 4 {x}^{3}$

Это линейное ДУ

Замена:

$y = uv \\ y '= u'v + v'u$

$u'v + v'u - 4xuv = - 4 {x}^{3} \\ u'v + u(v '- 4xv) = - 4 {x}^{3} \\ \\ 1)v '- 4xv = 0 \\ \frac{dv}{dx} = 4xv \\ \int\limits \frac{dv}{v} =\int\limits4x dx \\ ln(v) = 2 {x}^{2} \\ v = {e}^{2 {x}^{2} } \\ \\ 2)u'v = - 4 {x}^{3} \\ \frac{du}{dx} \times {e}^{2 {x}^{2} } = - 4 {x}^{3} \\ u = \int\limits {e}^{ - 2 {x}^{2} } \times ( - 4 {x}^{3} )dx = \\ = \frac{ {e}^{ - 2{x}^{2} } }{2} (2 {x}^{2} + 1) + C \\ \\ y = {e}^{2 {x}^{2} } \times ( \frac{ {e}^{ - 2 {x}^{2} } }{2} (2 {x}^{2} + 1) + C) = \\ = C{e}^{2 {x}^{2} } + \frac{2 {x}^{2} + 1 }{2}$

общее решение

$y(0) = - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} = C + \frac{1}{2} \\ C = - 1$

$y = \frac{2 {x}^{2} + 1 }{2} - {e}^{2 {x}^{2} }$

частное решение