при каких значениях m функция y = -5x^2+mx-3 имеет нули?
Ответы
Для начала посмотрим на функцию. Она квадратичная. В данном случае проще всего представить график этой функции. Старший коэффициент равен -5, а потому ветви параболы, являющейся графиком функции, будут направлены вниз. Нули функции - это те значения аргумента, при которых функция обращается в ноль. У параболы с направленными вниз ветвями может быть три варианта расположения относительно оси Ox.
1) Весь график лежит ниже оси абсцисс, в таком случае функция не будет иметь нулей. Нам это не подходит.
2) Вершина параболы лежит на оси абсцисс, в таком случае функция будет иметь один ноль - саму вершину.
3) Вершина параболы лежит выше оси абсцисс, в таком случае функция будет иметь два нуля.
Итак, нам подходят два варианта - второй и третий. Решение задания сводится к решению неравенства. Отправной точкой будем считать второй вариант - сам он удовлетворяет условию, как и третий, а вот первый нам не подходит.
Формула абсциссы вершины параболы: . Смотрим на нашу функцию: . Учитывая коэффициенты, абсциссой вершины параболы будет являться: . Ординатой вершины параболы является значение функции при подстановке туда x, являющегося абсциссой вершины. Подставляем полученное значение в функцию:
Именно это значение и является определяющим. Если ордината вершины параболы равна нулю, то это соответствует второму варианту. Если она больше нуля, то третьему. Если меньше нуля, то первому. Как я уже говорила, подходят второй и третий, то есть, больше или равно нулю. Поэтому конечное неравенство, которое и даст ответ на вопрос задачи:
В знаменателе постоянное число, поэтому знак дроби будет зависеть только от числителя.
Разложили на множители, теперь неравенство можно решить методом интервалов.
Нули: .
- + -
---------------------------------------------------------------------> m
Так как в последней строке неравенства стоит знак "меньше или равно", то решениями являются промежутки со знаком "минус". То есть, и . Это и есть ответ к нашему заданию.
Ответ: функция будет иметь нули при .