Question

(e^x-y-e^-y)dx+(e^x+y+e^x)dy=0

Answer 1

$(e^{x-y}-e^{-y})dx+(e^{x+y}+e^{x})dy=0\\e^{-y}(e^{x}-1)dx + e^{x}(e^{y}+1)dy =0\\e^{-y}(e^{x}-1)dx=-e^{x}(e^{y}+1)dy\\e^{-x}(e^{x}-1)dx=-e^{y}(e^{y}+1)dy$

Далее интегрируем

$\int (1-e^{-x}) \, dx = -\int (e^{2y}+e^y) \, dy\\x+e^{-x}+C = -(\frac{e^{2y}}{2}+e^y)$

Обозначим: $f=e^y\\A = x+e^{-x}+C$

Тогда имеем квадратное уравнение с переменной f:

$A = -(\frac{f^2}{2}+f)\\f^2+2f+2A=0\\D=4-4*2A=4(1-2A)\\f_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4(1-2A)}}{2} = -1 \pm \sqrt{1-2A} = -1 \pm \sqrt{1-2(x+e^{-x}+C)} = e^y$

Отрицательный корень отбрасываем, т.к. f=exp(y)>0.

Отсюда находим решение:

$y=\ln (-1+\sqrt{1-2(x+e^{-x}+C)})$