Question

сделайте пожалуйста это:
!!!!

Answer 1

1.1.

$f(x) = x^8 \Rightarrow f'(x) = 7x^8$

1.2.

$f(x) = \cos x \Rightarrow f'(x) = -\sin x$

1.3.

$\phi(x) = 4x^{-5} \Rightarrow \phi'(x) = -20x^{-6}$

1.4.

$\phi(x) = 2 \text{ctg}\,x \Rightarrow \phi'(x) = \dfrac{-2}{\sin^2x}$

2.1.

$f(x) = x \text{tg}\,x \Rightarrow f'(x) = x'\cdot\text{tg}\,x + x\cdot(\text{tg}\,x)' = \text{tg}\,x + \dfrac{x}{\cos^2x}$

2.2.

$g(x) = \dfrac{x^2+2}{x-3} \Rightarrow g'(x) = \dfrac{(x^2+2)'(x-3) - (x^2+2)(x-3)'}{(x-3)^2} = \dfrac{2x^2 - 6x - x^2 - 2}{(x-3)^2} = \dfrac{x^2 - 6x - 2}{(x-3)^2}$

3.

$x(t) = \frac{1}{2}t^2 + 5t + 11 \Rightarrow v(t) = x'(t) = t + 5 \Rightarrow v(6) = 6+5 = 11$

Ответ: 11 м/с.

4. f(x) = x² + 2x – 5 -- парабола, ветви направлены вверх, минимальное значение достигается в вершине

Вершина параболы: x = –2/2 = –1, f(–1) = 1 – 2 – 5 = –6.

Значения на границах отрезка: f(–3) = 9 – 6 – 5 = –2, f(0) = –5.

Наибольшее значение функции f(x) на отрезке [–3; 0] достигается при x = –3 и равно f(–3) = –2.

Наименьшее значение функции f(x) на отрезке [–3; 0] достигается при x = –1 и равно f(–1) = –6.

5. Уравнение касательной в общем виде: y = f'(x₀)·(x – x₀) + f(x₀)

f'(x) = x³ – 6 ⇒ f'(x₀) = f'(2) = 2³ – 6 = 2

f(x₀) = f(2) = (1/4)·2⁴ – 6·2 = –8

y = 2(x – 2) – 8 = 2x – 12

Ответ: уравнение касательной y = 2x – 12.

6. y = 4x³ + 3x²

Области определения и значений

Область определения: x ∈ R.

Область значений: y ∈ R.

Пересечения с осями координат

y(x) = 4x³ + 3x² = x²(4x + 3)

y(0) = 0 -- проходит через начало координат

y(x) = 0 ⇒ x₁ = 0, x₂ = –0,75 -- нули функции

Промежутки монотонности и экстремумы

y'(x) = 12x² + 6x = 6x(2x + 1) -- парабола, ветви вверх

y'(x) = 0 ⇒ x₁ = 0, x₂ = –0,5

Функция y(x) возрастает при x ∈ (–∞; –0,5) ∪ (0; ∞)

Функция y(x) убывает при x ∈ (–0,5; 0)

y(–0,5) = –0,5 + 0,75 = 0,25 -- локальный максимум x = –0,5, y = 0,25

y(0) = 0 -- локальный минимум x = 0, y = 0

Выпуклость

y''(x) = 24x + 6

y''(x) = 0 ⇒ x = –0,25

Функция y(x) выпуклая при x < –0,25 и вогнутая при x > –0,25

График

Смотри рисунок

7. f'(x) = 3x² + 6ax + 12 -- парабола, ветви вверх

f(x) возрастает на R ⇔ уравнение f'(x) = 0 не имеет корней

3x² + 6ax + 12 = 0

D = (6a)² – 4·3·12 = 36a² – 144 = 36(a – 2)(a + 2)

D < 0 ⇒ a ∈ (–2; 2)

Ответ: f(x) возрастает на R при a ∈ (–2; 2).