Question

Полное и подробное решение. Помогите, пожалуйста.

Answer 1

$\int\frac{\sqrt{(4-x^2)^3}}{x^6}\, dx=||x=2\sin t; t=\arcsin\frac{x}{2}}||=\int\frac{8\cos^3 t}{64\sin^6 t}\cdot 2\cos t\, dt=$

$-\frac{1}{4}\int ctg^4 t\, d\, ctg\, t=-\frac{1}{20}ctg^5t+C=C-\frac{1}{20}ctg^5(\arcsin\frac{x}{2})=C-\frac{1}{20}ctg^5(arcctg\frac{\sqrt{4-x^2}}{x})=$

$C-\frac{1}{20}\frac{\sqrt{(4-x^2)^5}}{x^5}$

Замечание. Чтобы доказать, что $\arcsin \frac{x}{2}=arcctg \frac{\sqrt{4-x^2}}{x},$ достаточно нарисовать прямоугольный треугольник с катетом x  и гипотенузой 2; второй катет вычисляем по теореме Пифагора: $\sqrt{4-x^2}.$