Помогите решить, даю 40 баллов
Ответы
Ответ:
1. а) Частные производные:
∂z/∂x = cos√x/(2√x)
∂z/∂y = −3y²
Частичные дифференциалы:
d_x(z) = (∂z/∂x)dx = cos√x/(2√x)dx
d_y(z) = (∂z/∂y)dy = −3y²dy
Полный дифференциал:
dz = d_x(z) + d_y(z) = cos√x/(2√x)dx − 3y²dy
-------------------------------------------------------------------------------------------------
б) z = tg(x²−y²)
Частные производные
∂z/∂x = 1/cos²(x²−y²)*2x = 2x/cos²(x²−y²)
∂z/∂y = 1/cos²(x²−y²)*(−2y) = −2y/cos²(x²−y²)
Частичные дифференциалы:
d_x(z) = (∂z/∂x)dx = 2xdx/cos²(x²−y²)
d_y(z) = (∂z/∂y)dy = −2ydy/cos²(x²−y²)
Полный дифференциал:
dz = d_x(z) + d_y(z) = (2xdx−2ydy)/cos²(x²−y²)
--------------------------------------------------------------------------------
2. а) u=ln sin(x−2y+z/4); M0(1;½π)
∂u/∂x = 1/sin(x−2y+z/4)*cos(x−2y+z/4)*1 = ctg(x−2y+z/4)
∂u/∂y = 1/sin(x−2y+z/4)*cos(x−2y+z/4)*(−2) = −2ctg(x−2y+z/4)
∂u/∂z = 1/sin(x−2y+z/4)*cos(x−2y+z/4)*(¼) = ¼ctg(x−2y+z/4)
в т. M0 ctg(x−2y+z/4)=ctg(1−2*½+π/4)=ctg(π4)=1
∂u/∂x = 1; ∂u/∂y = −2; ∂u/∂z = ¼.
---------------------------------------------------------------
3. S: F(x,y,z)≡x²+y²−z²+xz+4y=4; M0(1;1;2)
а) уравнение касательной:
(x−x0)∂F/∂x + (y−y0)∂F/∂y + (z−z0)∂F/∂z = 0
(все частные производные берутся в т. M0)
∂F/∂x = 2x = 2*1 =2;
∂F/∂y = 2y+4 = 2*1+4 = 6;
∂F/∂z = −2z+x = −2*2+1 = −3.
Искомое уравнение касательной: 2(x−1)+6(y−1)−3(z−4)=0, или
2x+6y−3z+4=0
б) Нормальная прямая:
(x−x0)/(∂F/∂x) = (y−y0)/(∂F/∂x) = (x−z0)/(∂F/∂z),
где все частные производные берутся в т. M0
Подставляем наши значения и получаем уравнение нормальной прямой:
(x−1)/2 = (y−1)/6 = (z−2)/(−3)
------------------------------------------------------------------------------
4. z=cos(3x²−y³)
∂z/∂x = −sin(3x²−y³)*6x = −6x sin(3x²−y³)
∂z/∂y = −sin(3x²−y³)*(−3y²) =3y²sin(3x²−y³)
z''xx = ∂/∂x(∂z/∂x) = ∂/∂x(−6x sin(3x²−y³)) = −6sin(3x²−y³) −6x*cos(3x²−y³)*6x;
z''xx = −36x²cos(3x²−y³)−6sin(3x²−y³)
z''xy = ∂∂y(∂z/∂x) = ∂∂y(−6x sin(3x²−y³)) = −6x*cos(3x²−y³)*(−3y²);
z''xy=18xy²cos(3x²−y³)
z''yx = ∂/∂x(∂z/∂y) = ∂/∂x(3y²sin(3x²−y³)) = 3y²cos(3x²−y³)*6x;
z''yx = 18xy²cos(3x²−y³)
(как видим, z''xy = z''yx)
z''yy = ∂/∂y(∂z/∂y) = ∂/∂y(3y²sin(3x²−y³)) = 6ysin(3x²−y³) + 3y²cos(3x²−y³)*(−3y²);
z''yy = 6ysin(3x²−y²) − 9y^4cos(3x²−y³)
---------------------------------------------------------------
5. z=x²+3(y+2)²
1 способ (классический)
Поскольку z представляет из себя сумму квадратов, то минимум z достигается, когда x=y+2=0, т. е. в точке (0;−2); значение z равно 0
Поскольку x и (y+2) не ограничены сверху, то максимума функция не имеет.
2 способ (с использованием частных производных)
а) ищем стационарные точки (в которых частные производные z по x и y равны 0)
∂z/∂x = 2x; ∂z/∂y = 6(y+2)
{ 2x=0;
{ 6(y+2)=0
Единственная стационарная точка — (0;−2).
б) Исследуем её характер. Найдём вторые производные в этой точке:
z''xx = 2; 2z''xy=2z''yx=0; z''yy = 6
Поскольку z''xx*z''yy−(z''xy/2)²=12>0, то имеем точку локального (и глобального тоже, поскольку других экстремумов у функции нет) минимума.
ОТВЕТ: (0;−2) — точка локального и глобального минимума (z=0); других экстремумов нет.
----------------------------------------------------------
6. z(x,y) принимает:
— наименьшее значение z=−12 при x=0, y=2
— наименьшее значение z=36/5 при x=8/5, y=−6/5
Решение
z=4(x−y)−x²−y²
D: x+2y=4, x−2y=4, x=0
Решение
Область D — заштрихованный треугольник на рисунке.
а) сначала найдём стационарные точки внутри D.
∂z/∂x=∂z/∂y=0
{ 4−2x=0 ⇒ x=2
{ −4−2y=0; ⇒ y=−2
Единственная стационарная точка z(x,y) — (2;−2). Эта точка лежит вне области D ⇒ наибольшее и наименьшее значения функции достигаются на границах D.
б) Рассмотрим поведение функции на границах:
б1) x=4−2y; 0≤y≤2
z = 4(−2y−y) − (4−2y)² − y² = 4y−5y²
z' = 4−10y; z'=0 ⇒ y=2/5 (x=16/5) ⇒ имеем локальный максимум z=4/5
На границах отрезка: y=0 (x=4) ⇒ z=0; y=2 (x=0) ⇒ z=−12
б2) x=4+2y, −2≤y≤0
z=4(4+2y−y)−(4+2y)²−y²)
z'=0 ⇒ y=−6/5 (x=8/5) ⇒ локальный максимум z=36/5
Одна из границ отрезка (x=0, y=2) уже рассмотрена в п. б1), на второй границе (y=−2, x=0) z=4
б3) x=0; −2≤y≤2
z=−4y−y²; z'=0 ⇒ y=−2 (x=0); z=4 (локальный минимум — на границе отрезка)
Выбирая из решений б1–б3 минимальное и максимальное значение z, получаем окончательный ответ:
z(x,y) принимает:
— наименьшее значение z=−12 при x=0, y=2
— наименьшее значение z=36/5 при x=8/5, y=−6/5