Question

Помогите решить пожалуйста

Answer 1

Ответ:

1.

замена:

$\sqrt[6]{x} = t \\ \sqrt[3]{x} = {t}^{2} \\ \sqrt{x} = {t}^{3} \\ x = {t}^{6} \\ dx = 6t {}^{5} dt$

$\int\limits \frac{t \times 6t {}^{5} dt}{ {t}^{3} + 2t {}^{2} } =6 \int\limits \frac{ {t}^{4} dt}{t + 2} = \\ = 6\int\limits( {t}^{3} - 2 t {}^{2} + 4t - 8 + \frac{16}{t + 2}) dt = \\ = 6( \frac{ {t}^{4} }{4} - \frac{2 {t}^{3} }{3} + 2 {t}^{2} - 8t + 16 ln( |t + 2| ) ) + C= \\ = \frac{3 {t}^{4} }{2} - 4 {t}^{3} + 12 {t}^{2} - 48t + 96 ln( |t + 2| ) + C= \\ = \frac{3}{2} \sqrt[3]{ {x}^{2} } - 4 \sqrt{x} + 12 \sqrt[3]{x} - 48 \sqrt[6]{x} + 96ln( | \sqrt[6]{x} + 2 | ) + C$

2.

$\int\limits \frac{(x + 2)dx}{ \sqrt{2 + x - {x}^{2} } }$

В числителе делаем производную знаменателя: 1-2х

$- \int\limits \frac{( - x - 2)dx}{ \sqrt{2 + x - {x}^{2} } } = - \frac{1}{2} \int\limits \frac{( - 2x - 4)dx}{ \sqrt{2 + x - {x}^{2} } } = \\ = - \frac{1}{2} \int\limits \frac{( - 2x + 1 - 5)}{ \sqrt{2 + x - {x}^{2} } } dx = \\ = - \frac{1}{2} \int\limits \frac{( - 2x + 1)dx}{ \sqrt{2 + x - {x}^{2} } } + \frac{5}{2} \int\limits \frac{dx}{ \sqrt{2 + x - {x}^{2} } } = \\ = - \frac{1}{2} \int\limits \frac{d(2x - {x}^{2} )}{ {(2 + x - x {}^{2}) }^{ \frac{1}{2} } } + \frac{5}{2} \int\limits \frac{dx}{ \sqrt{2 + x - {x}^{2} } }$

Во втором интеграле в знаменателе выделяем квадрат:

$2 + x - {x}^{2} = - ( {x}^{2} - x - 2) = \\ = - ( {x}^{2} - 2 \times x \times \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{9}{4} ) = \\ = - ((x - \frac{1}{2} ) {}^{2} - ( \frac{3}{2} ) {}^{2} = \\ = ( \frac{3}{2} ) {}^{2} - (x - \frac{1}{2} ) {}^{2}$

$- \frac{1}{2} \frac{ (2 + x - {x}) ^{ \frac{1}{2} } }{ \frac{1}{2} } + \frac{5}{2} \int\limits \frac{d(x - \frac{1}{2}) }{ \sqrt{( \frac{3}{2} ) {}^{2} -(x - \frac{1}{2} ) {}^{2} } } = \\ = - \sqrt{2 + x - {x}^{2} } + \frac{5}{2} arcsin( \frac{x - \frac{1}{2} }{ \frac{3}{2} } ) + C = \\ = - \sqrt{2 - x + {x}^{2} } + \frac{5}{2} arcsin ( \frac{2x - 1}{3} )+ C$