Question

Помогите пожалуйста.....
Надо вычислить площадь фигуры
(прямолинейной трапеции)

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ y=x^2+1\ \ ,\ \ y=x+3\\\\x^2+1=x+3\ \ ,\ \ x^2-x-2=0\ \ ,\ \ x_1=-1\ ,\ x_2=2\\\\S=\int\limits^2_{-1}\, (x+3-(x^2+1))\, dx=\int\limits^2_{-1}\, (x+2-x^2)\, dx=\Big(\dfrac{x^2}{2}+2x-\dfrac{x^3}{3}\Big)\Big|_{-1}^2=\\\\\\=2+4-\dfrac{8}{3}-\dfrac{1}{2}+2+\dfrac{1}{3}=8-4=4$

$2)\ \ y=4x-x^2\ \ ,\ \ y=0\ \ ,\ \ x=5\\\\4x-x^2=0\ \ ,\ \ x(4-x)=0\ \ ,\ \ x_1=0\ ,\ x_2=4\\\\S=-\int\limits^5_4\, (4x-x^2)dx=\int\limits^5_4\, (x^2-4x)\, dx=\Big(\dfrac{x^3}{3}-2x^2\Big)\Big|_4^5=\\\\\\=\dfrac{125}{3}-50-\dfrac{64}{3}+32=\dfrac{61}{3}-18=\dfrac{7}{3}$

$3)\ \ y=x^2\ ,\ \ y=0\ ,\ \ x=3\\\\S=\int\limits^3_0\, x^2\, dx=\dfrac{x^3}{3}\Big|_0^3=\dfrac{3^3}{3}=3^2=9$