Я УЖЕ 6 РАЗ ПЕРЕСПРАШИВАЮ!!!!
Задано выражение:
(2x^2 - 2)^2 - 4x^3(x^3 + x^2 - x - 2) +4(x^2)^3 + 20x^9/5x^4 - 2(4x^3 +1)
а) Преобразуйте выражение, чтобы получить многочлен стандартного вида. Укажите степень многочлена.
б) Докажите, что при любых целых значениях x многочлен делится на 2.
в) Докажите, что при любых действительных значениях x многочлен не может принимать отрицательных значений.
Ответы
Ответ:
Объяснение:
а) 4x^4-8x^2+4-4x^6-4x^5+4x^4+8x^3+4x^6+4x^5-8x^3-2=8x^4-8x^2+2
четвертая степень
б) Запишем 8x^4-8x^2+2 как 8x^2(x^2-1)+2
Для случая |х| ∈ [0,1] произведение обращается в 0, а выражение равно 2. Двойка делится на 2, что и требовалось доказать.
Для случая |x| ≥ 2, x² может быть четным или нечетным. Если x² - четное, то (x² - 1) - нечетное. Произведение x² (x² -1) - всегда четное, умножение на 8 эту четность сохраняет, как и суммирование с числом 2. Таким образом выражение всегда четное, то есть делится на 2, ч.т.д.
в) Поскольку х возводится в четные степени (четвертую и вторую), то 8 x^4 - всегда положительное число. А поскольку речь о целых числах, то для любых |x|≥2 8x^4 будет больше, чем 8x², то есть их разница будет положительной.
В случаях, |x| ∈ [-1,1], при х = 0 оба первых слагаемых обращаются в нуль и остается только 2, положительное число, а при х = -1 или х = 1, сумма первых слагаемых обращается в 0, тогда значение выражения также становится равно 2, положительному числу.
Так мы доказали, что для любых целых х наше выражение всегда положительно.