Question

Знайдіть усі значення параметра а, при яких функція f(x) =(x^3/3)+(((a-1)x^2)/2)- 9x+8 спадає на множині дійсних чисел. ​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$f(x) = \frac{x^3}{3}+ \frac{ (a-1)x^2}{2}- 9x+8$

Найти значения параметра а, при которых ф- ия убывает на R

Решение:

Функция f(x) определена на R.

Убывание функции на R означает, что на всей D(f) должно выполняться неравенство:

f'(x) < 0

Определим производную ф-ии

$f(x) = \frac{x^3}{3}+ \frac{ (a-1)x^2}{2}- 9x+8 \\ f'(x) = \bigg(\frac{x^3}{3}+ \frac{ (a-1)x^2}{2}- 9x+8 \bigg)'= \\ = \big(\frac{x^3}{3}\big)'+\big(\frac{ (a-1)x^2}{2}\big)'-(9x)'+(8)'= \\ = \frac{3x^2}{3}+ \frac{ 2(a-1)x^1}{2}- 9x^{0} +0 = \\ = {x}^{2} + (a-1)x- 9$

Для убывания ф-ии на R необходимо выполнение неравенства

${x}^{2} + (a-1)x- 9 < 0$

D = (a-1)^2-4 \cdot(-9)= (a-1)^2+36

$D = (a-1)^2-4 \cdot(-9)= (a-1)^2+36 \\ D \geqslant 36 \: \forall \: {a} = > \\ = > \: \forall \: {a} \: \exists \: x \: _{для \: кот-го} \: y'(x) \geqslant 0 \\ = > \cancel{\exists} \: a \: npu \: kom. \: f(x) \downarrow \: \forall{x} \: \in \: \R$