Question

При множенні двох чисел, одне з яких на 10 більше за інше, учень допустив помилку, і
зменшив цифру десятків добутку на 4. Для перевірки відповіді, він поділив одержаний
добуток на менший множник і отримав частку 39 і остачу 22. Знайдіть початкові множники.

Answer 1

Нехай менше число дорівнює $x$, тоді більше число дорівнює $x+10$.

Оскільки остача – число двозначне, то і множники мають бути однозначними або двозначними

Зменшити цифру десятків на 4 — це те саме, що відняти від числа 40. Складемо рівняння:

$x(x+10)-40=39x+22\\x^2+10x-40-39x-22=0\\x^2-29x-62=0\\x_1=31\\x_2=-2$

Отримаємо пари чисел (31; 41) та (–2;8).

Перевірка: $31 \cdot 41 = 1271$. Зменшивши цифру десятків на 4, отримаємо 1231. Розділивши на менший множник (на 31) отримаємо частку 39 і остачу 22:

$1231=39 \cdot 31+22$

Другий випадок: $-2 \cdot 8=16$. Ми не можемо зменшити цифру десятків добутку на 4, тому цей корінь відпадає (хоча якби в умові було майже еквівалентно сформульовано «відняли від числа 40», ця пара чисел цілком задовольняла б умові).

Відповідь: (31; 41).

Answer 2

Ответ:

31 та 41.

Пояснення:

Нехай менше число x, тоді більше — (x+10), а їхній справжній добуток дорівнює x(x+10) = (x²+10x). Зменшити цифру десятків числа на 4 — це те саме, що й відняти від нього 40. Тож учень отримав відповідь (x²+10x-40).

Якщо відомо, що a÷b = q (ост. r), де a — ділене, b — дільник, q —неповна частка, r — остача, то число a можна подати у вигляді bq+r. За умовою задачі a = x²+10x-40, b = x, q = 39, r = 22. Складемо рівняння:

$x^2+10x-40 =39x+22\\x^2+10x-39x-40-22=0\\x^2-29x-62=0$

За теоремою Вієта:

$\begin{cases} x_1+x_2=29 \\ x_1*x_2=-62 \end{cases}$

Легко бачити, що x_1 = -2, x_2 = 31.

Якщо менше число дорівнює -2, то більше — -2+10 = 8, але тоді їхній добуток -2×8 = -16 такий, що його цифру десятків можна зменшити хіба що на 1. Тож розв'язок -2 не задовольняє умові задачі.

А от якщо менше число — 31,  а більше — 31+10 = 41, то все добре: учень мав отримати 1271, але помилився й записав у відповіді 1231.