Question

помогите найти суму ряда ​

Answer 1

$S(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\ldots;\ S'(x)=1-x^2+x^4-\ldots =\frac{1}{1+x^2};$ (|x|<1);

$S(x)=\int\frac{dx}{1+x^2}=arctg x +C;\ 0=S(0)= arctg\ 0 +C=C\Rightarrow C=0;$

S(x)= arctg x.

Замечание. Надеюсь, здесь не требуется доказывать возможность почленного дифференцирования и интегрирования степенного ряда, а также выводить формулу для суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии.