Question

Помогите, пожалуйста, решить интегралы

Answer 1

Воспользуемся правилом: интеграл суммы равен сумме интегралов:

$\displaystyle\int \Big(u(x)+v(x)\Big) \, dx =\int u(x) \, dx +\int v(x)\, dx$

и формулой:

$\displaystyle\int \limits ^b_a Cx^n\,dx=\dfrac {Cx^{n+1}}{n+1}\ \bigg|^b_a=\dfrac C{n+1}\cdot \bigg(b^{n+1}-a^{n+1}\bigg)$

==================================

$\displaystyle\int\limits^1_{-1} \Big(16x+4e^x\Big) \, dx =\int\limits^1_{-1} 16x \, dx +\int\limits^1_{-1} 4e^x \, dx =\\\\\\=16\cdot\dfrac{x^2}2\ \bigg|^1_{-1}+4e^x\ \bigg|^1_{-1}=8x^2\ \Big|^1_{-1}+4e^x\ \Big|^1_{-1}=\\\\\\=8\cdot1^2-8\cdot(-1)^2+4e^1-4e^{-1}=\\\\=8-8+4e-\dfrac4e\boldsymbol{=4\Big(e-\dfrac1e\Big)}$

===================================

$\displaystyle\int\limits^{36}_1 \Big(2x+2\sqrt x\Big) \, dx =\int\limits^{36}_1 2x \, dx +\int\limits^{36}_1 2\sqrt x \, dx =\\\\\\=2\cdot\dfrac{x^2}2\ \bigg|^{36}_1+2\cdot \dfrac{x^{1/2+1}}{1/2+1}\ \bigg|^{36}_1=x^2\ \Big|^{36}_1+\dfrac 43\cdot x\sqrt x\ \Big|^{36}_1=\\\\\\=36^2-1^2+\dfrac 43\Big(36\cdot\sqrt{36}-1\cdot \sqrt 1\Big)=\\\\=36^2-1+\dfrac{4\cdot36\cdot6}3-\dfrac 43=\\\\=1296+288-1-1\dfrac 13\boldsymbol{=1581\dfrac 23}$

Ответ:  $\boldsymbol{4\Big(e-\dfrac 1e\Big);\ \ \ 1581\dfrac 23.}$