Медиана AA1 и CC1 равнобедренного треугольника ABC с основанием AC пересекаются в точке O.Известно, что угол AOC=100◦, AA1=3 см. Вычислите длину боковой стороны треугольника ABC.
Ответы
Треугольники АС1С и АА1С равны по трём сторонам( общее основание, медиана, половина боковой стороны АВС). Медианы в точке пересечения делятся 2:1. Поскольку треугольник АВС равнобедренный медианы равны. Тогда АО=ОС=2. Получили равнобедренный треугольник АОС. Тогда углы ОАС=ОСА=(180-100)/2=40. Проведём высоту ОК на АС. Тогда АК=АО*cos 40=2*0,766=1,53. В равнобедренном треугольнике высота к основанию также является медианой. Тогда АС=2*АК=3,06. По известной формуле, медиана на сторону ВС равна М вс =1/2корень из (2АСквадрат+2АВ квадрат-ВС квадрат). Но АВ=ВС. А медиана М=3 по условию. Подставляя получаем 3=1/2корень из(2АС квадрат+ВС квадрат).Или( 3*2) квадрат=2*(3,06)квадрат+ ВС квадрат. Отсюда ВС=4,16.
Ответ:
Боковая сторона равна 4,15 см
Объяснение:
Смотри прикреплённый рисунок.
ΔАА₁В = ΔСС₁В по 1-му признаку равенства треугольников (АВ = ВС как боковые стороны равнобедренного треугольника, ВА₁ = ВС₁ как половинки равных боковых сторон треугольника и ∠В - общий угол)
Тогда медианы АА₁ = СС₁ = 3см
По свойству медиан треугольника АА₁ и СС₁ точкой пересечения О делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины. Поэтому
А₁О = 1см, а ОС = 2см.
По свойству смежных углов ∠COА₁ = 180° - ∠АОС = 180° - 100° = 80°
В Δ СОА₁ по теореме косинусов можно найти половину боковой стороны СА₁
СА₁² = А₁О² + ОС² - 2 · А₁О · ОС · cos 80°
СА₁² = 1² + 2² - 2 · 1 · 2 · 0,1736 = 4,3054
СА₁ = √4,3054 = 2,075 (см)
ВС = 2 · СА₁ = 2 · 2,075 = 4,15 (см)
