Question

Неоднородное дифференциальное уравнение
y’’-3y+2y=9e^2x срочно даю 55 баллов

Answer 1

Ответ:

$y'' - 3y '+ 2y = 9 {e}^{2x}$

1) Решение ОЛДУ:

$y ''- 3y '+ 2y = 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ \\ k {}^{2} - 3k + 2 = 0\\ D= 9 - 8 = 1 \\ k_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \\ k_2 = 1 \\ \\ y = C_1 {e}^{2 x } + C_2 {e}^{x}$

2) Подбираем у с неопределенными коэффициентами

$у= Ax {e}^{2x}$

$у '= A {e}^{2x} + 2Ax {e}^{2x} = Ae {}^{2x} (1 + 2x)$

$у''= 2Ae {}^{2x} (1 + 2x) + 2A {e}^{2x} = \\ = A{e}^{2x} (4 + 4x)$

Подставляем в НЛДУ

${e}^{2x} (4A+ 4Ax - 3 A- 6Ax + 2Ax) = 9 {e}^{2x} \\ Ae { }^{2x} = 9e {}^{2x} \\ A= 9$

$у= 9x {e}^{2x}$

Общее решение:

$y = C_1e {}^{2x} + C_2e {}^{x} + 9x {e}^{2x}$