Электромагнитная волна частотой 4 МГц переходит из среды с относительной диэлектрической проницательностью ε1 = 4,0 в среду с относительной диэлектрической проницательностью ε2 = 81,0. Найти прирост ее длины волны. Очень нужно!
Ответы
Предупреждаю: я такие задачи не решал. Но в теории разобрался. Поверхностно. Однако, думаю, что для решения задачи этого достаточно.
Дано:
v = 4 МГц = 4*10^6 Гц
ε1 = 4
ε2 = 81
μ = 1
c = 3*10^8 м/с
Δλ - ?
Решение:
С относительной диэлектрической проницаемостью среды связан абсолютный показатель преломления среды:
n = √(εμ) (!!!)
С другой стороны абсолютный показатель преломления среды равен:
n = c/V, тогда:
c/V = √(εμ)
Я так понимаю, что первая и вторая среда являются немагнитными. Тогда μ = 1. Нам нужно найти прирост длины волны. Сначала заменим скорость V выражением через частоту:
λ = V*T = V/v => V = λv => c/V = c/(λv) = √(εμ)
Выразим длину волны:
c/(λv) = (с/v)/λ = √(εμ) => λ = (с/v)/√(εμ) = (с/v)*(1/√(εμ))
При значении диэлектрической проницаемости среды > 1, длина волны становится меньше, потому что меньше становится скорость волны, ведь длина волны прямо пропорциональна скорости:
λ = V*T = V/v = V*(1/v) => λ ~ V
В первой среде длина волны равна:
λ1 = (с/v)*(1/√(ε1*μ)) - т.к. ε1 > ε (ε приблизительно = 1) и находится в знаменателе дроби, то всё логично - скорость (а значит и длина волны) становится меньше за счёт диэлектрической проницаемости среды.
Во второй среде скорость волны уменьшается ещё больше и её длина - тоже. Проверим это через равенство отношений скоростей и отношений абсолютных показателей:
n = c/V
n1 = c/V1 => V1 = c/n1
n2 = c/V2 => V2 =с/n2
Волна идёт из первой среды, в которой распространяется со скоростью V1, во вторую, следовательно, скорость меняется с V1 до V2. Рассмотрим отношение первой скорости ко второй:
V1/V2 = (c/n1) : (c/n2) = n2/n1
Учитывая равенство (!!!), имеем:
V1/V2 = (√(ε2*μ))/(√(ε1*μ)), тогда выражаем скорость V2:
V2 = V1 : (√(ε2*μ))/(√(ε1*μ)) = V1*(√(ε1*μ))/(√(ε2*μ)) = V1*(√ε1/√ε2)
Заменим cкорость V1 выражением через длину волны λ1:
λ1 = V1/v => V1 = λ1*v, тогда:
V2 = (λ1*v) * (√ε1/√ε2) = (λ1*v*√ε1)/√ε2
Теперь по формуле длины волны получаем выражение для λ2:
λ2 = V2/v = ((λ1*v*√ε1)/√ε2) : v = (λ1*v*√ε1)/(v*√ε2) = (λ1*√ε1)/√ε2 = λ1 * (√ε1/√ε2)
Зная выражение для λ1, выводим:
λ2 = (с/v)*(1/√(ε1*μ)) * (√ε1/√ε2) = (с/v)*(1/√(ε2*μ))
Теперь остаётся выразить изменение длины волны и найти значение:
Δλ = λ2 - λ1 = (с/v)*(1/√(ε2*μ)) - (с/v)*(1/√(ε1*μ)) = (с/(μv))*(1/√ε2 - 1/√ε1) = (3*10^8/(1*4*10^6))*(1/√81 - 1/√4) = (3/4)*10^2*(1/9 - 1/2) = (300/4)*(2/18 - 9/18) = (300/4)*(-7/18) = (150/4)*(-7/9) = (50/4)*(-7/3) = -350/12 = -29,1666... = -29,2 м
Ответ: -29,2 м.