Question

Функция y задана выражениями для различных областей изменения аргумента x .
А) найти точки разрыва функции, если они существуют
Б) найти односторонние пределы и скачок функции в точках разрыва
В) построить график функции

Answer 1

Ответ:

$y=\left\{\begin{array}{l}x^2+1\ ,\ \ x\leq 1\ ,\\3-x\ ,\ \ \ 1<x\leq 5\ ,\\-3\ \ \ \ ,\ \ \ \ x>5\ .\end{array}\right$

Парабола  y=x²+1  чертится только для  х≤1 . Точка (1,2) принадлежит параболе .

Прямая у=3-х  проходит через точки (3,0)  и  (5,-2) . Точка (1,2) не принадлежит прямой, а точка (5,-2) принадлежит прямой .

Прямая  у= -3 параллельна оси ОХ и проходит через точку (0,-3) . Точка (5,-3)  не принадлежит этой прямой .

А) точка разрыва функции 1 рода - это х=5 , так как

Б)

 $f(5-0)=\lim\limits _{x \to 5-0}f(x)=\lim\limits _{x \to 5-0} (3-x)=3-5-0=-2\\\\f(5+0)=\lim\limits _{x \to 5+0}f(x)=\lim\limits _{x \to 5+0}\ (-3)=-3\\\\f(5)=(3-x)\Big|_{x=5}=-2\\\\f(5-0)\ne f(5+0)=f(5)$

Скачок функции в точке разрыва равен  

$f(5-0)-f(5+0)=-2-(-3)=1$

В)  График функции построен сплошными линиями .

P.S.  При х=1 функция непрерывна, так как левый и правый пределы функции в этой точке равны между собой и равны значению функции в точке х=1 :   $f(1-0)=f(1+0)=f(1)=2$  .