Question

Розв'яжіть рівняння:
1+x+x^2+...x^99=0

Answer 1

Сначала стоит заметить, что

$\displaystyle x,x^2,x^3 ... \ x^{99}$ - это геометрическая прогрессия с знаменателем х, а

$x+x^2+x^3+ ... + x^{99}$ - это сумма первых 99 членов этой прогрессии. Воспользуемся формулой суммы:

$\displaystyle S_{99}=\frac{x*(x^{99}-1)}{x-1}$

$\displaystyle 1+\frac{x*(x^{99}-1)}{x-1} = 0\\\frac{x*(x^{99}-1)+(x-1)}{x-1} = 0\\\frac{x^{100}-x+(x-1))}{x-1}=0\\\frac{x^{100}-1}{x-1}=0 =>\left \{ {{x^{100}-1=0} \atop {x-1\neq 0}} \right.\\ =>\left \{ {{x^{100}=1} \atop {x\neq 1}} \right.$

$\displaystyle \left \{ {{|x|=1} \atop {x\neq 1}} \right. => x=-1$

Ответ: х = -1