Question

Розв’яжіть диференціальні рівняння

Answer 1

Ответ:

$y' - 2xy = \frac{x {e}^{ {x}^{2} } }{x + 1}$

Это линейное ДУ

Замена:

$y = uv \\ y' = u'v + v'u$

$u'v + v'u - 2xuv = \frac{xe {}^{ {x}^{2} } }{x + 1} \\ u'v + u(v' - 2xv) = \frac{x {e}^{ {x}^{2} } }{x + 1} \\ \\ 1)v' - 2xv = 0 \\ \frac{dv}{dx} = 2x v \\ \int\limits \frac{dv}{v} =\int\limits 2xdx \\ ln( |v| ) = {x}^{2} \\ v = {e}^{ {x}^{2} } \\ \\ 2)u'v = \frac{x {e}^{ {x}^{2} } }{x + 1} \\ \frac{du}{dx} \times {e}^{ {x}^{2} } = \frac{x {e}^{ {x}^{2} } }{x + 1} \\ u = \int\limits \frac{xdx}{x + 1} \\ u = \int\limits \frac{x + 1 - 1}{x + 1} dx \\ u = \int\limits(1 - \frac{1}{x + 1} )dx \\ u = x - ln( |x + 1| ) + C \\ \\ y = {e}^{ {x}^{2} } (x - ln( |x + 1| ) + C) \\ y = {e}^{ {x}^{2} }x - e {}^{ {x}^{2} } ln( |x + 1| ) + Ce {}^{ {x}^{2} }$

общее решение