Помогите пожалуйста решить срочно, : найти общее решение дифференциального уравнения
Ответы
Ответ:
1. y=C1*x*ln(x)-C1*x+C2, где C1≠0, а C2 - произвольная постоянная.
2. y=x+C1*ln(x)+C2, где C1 и C2- произвольные постоянные.
Пошаговое объяснение:
1. Так как в данном уравнении отсутствует сама искомая функция y, то положим y'=z. Тогда y''=z' и данное уравнение примет вид: z'*x*ln(x)=z. А так как z'=dx/dx, то оно приводится к виду dz/z=dx/[x*ln(x)]. И так как dx/x=d[ln(x)], то окончательно dz/z=d[ln(x)]/ln(x). Интегрируя, находим ln/z/=ln/ln(x)/+ln/C1)/, где C1 - произвольная, но не равная нулю, постоянная. Отсюда z=y'=dy/dx=С1*ln(x), или dy=C1*ln(x)*dx. Интегрируя, находим y=C1*x*ln(x)-C1*x+C2.
2. В этом уравнении также отсутствует искомая функция y, поэтому полагаем y'=z. Тогда y"=z' и уравнение принимает вид: x*z'+z-1=0, или z'+z/x-1/x=0. Это - ЛДУ 1 порядка, полагаем z=u*v. Тогда z'=u'*v+u*v' и уравнение принимает вид: u'*v+u*v'+u*v/x-1/x=v*(u'+u/x)+u*v'-1/x=0. Так как одной из функций u или v мы можем распоряжаться произвольно, то поступим так с u и положим, что u'+u/x=0. Решая это ДУ, находим u=1/x. Подставляя это выражение в уравнение u*v'-1/x=0, получаем уравнение v'=dv/dx=1. Отсюда dv=dx и тогда v=x+C1, где C1 - произвольная постоянная. Тогда z=u*v=y'=dy/dx=1+C1/x, или dy=dx+C1*dx/x. Интегрируя, находим y=x+C1*ln(x)+C2, где C2- произвольная постоянная.