Question

У квадратного трехчлена f(x)=x2+px+q, где q<0, сумма корней равна произведению корней. Прямая y=1 пересекает график f(x) в двух точках, причем расстояние между этими точками равно 5. Найдите q.

Answer 1

Ответ: q=-3.

Пошаговое объяснение:

Рассмотрим уравнение f(x)=x²+p*x+q=0. Это - приведённое квадратное уравнение, пусть x1 и x2 -его корни. По теореме Виета, x1+x2=-p и x1*x2=q. По условию, x1+x2=x1*x2, откуда q=-p. Тогда данный квадратный трёхчлен можно записать в виде: f(x)=x²+p*x-p=(x+p/2)²-5*p²/4. Из условия f(x)=1 следует уравнение x²+p*x-(p+1)=0. Его дискриминант D=p²+4*(p+1)=(p+2)², а корни x3=(-p+p+2)/2=1, x4=(-p-p-2)/2=-p-1. По условию, x3-x4=p+2=5, откуда p=3 и q=-3.