Question

Дан равнобедренный треугольник PQR с основанием PR и точка T внутри него. Пусть ∠PQR=α. Известно, что ∠PTR=2α. На отрезке PT взята такая точка S, что ∠QST=α. Найдите QS, если ST=23, TR=32. СРОЧНО 20 БАЛЛОВ

Answer 1

Ответ:

QS=55

Объяснение:

Дано: ΔPQR - равнобедренный.

∠Q=α; ∠PTR=2α; ∠QST=α;

ST=23; TR=32.

Найти: QS

Решение:

Пусть ∠SQR=β ⇒∠1=α-β

∠2=∠QST-∠1=α-(α-β)=β (∠QST - внешний)

Рассмотрим ΔSQT.

∠3=∠PTR-∠KST=2α-α=α (∠PTR - внешний)

⇒ ΔSQT - равнобедренный (углы при основании равны)

⇒ ST=TK=23

Рассмотрим ΔQKR.

∠QKR=180°-∠3=180°-α (смежные)

∠4=180°-(∠QKR+β)=180°-180°+α-β=α-β

Рассмотрим ΔQKR и ΔPQS.

PQ=QR (ΔPQR - равнобедренный)

∠1=∠4=α-β

∠SQR=∠2=β

⇒ ΔQKR = ΔPQS (2 признак)

⇒ QS=KR=32+23=55