Question

Ответ даю 20 баллов
Найдите косинус угла между медианой AFи стороной BC треугольника , вершины которого имеют координаты A(-1; 0; 5) B(1; 4; 1) и C(3;-2; 1)
Не игнорируйте пожалуйста...

Answer 1

Ответ:

$\cos( \angle{AFB})= 0$

Объяснение:

Дано:

$A(-1; 0; 5), \:B(1; 4; 1), \: C(3;-2; 1); \: \\ F \in BC; , \:BF=FC$

Найти:

$\angle(AFB) = \: ?$

Решение:

$A(-1; 0; 5), \:B(1; 4; 1), \: C(3;-2; 1); \: \\ F \in BC , \:BF=FC = \frac{BC}{2} \: = > \\ F= F(x , \:y , \:z),$

где Fx, Fy и Fz - координаты точки F по осям x, y, z соответственно.

$F(x , y , z)=F(\tfrac{{B_x+C_x}}{2};\:\tfrac{{B_y+C_y}}{2};\:\tfrac{{B_z+C_z}}{2}) \\ F_x = \tfrac{1 + 3}{2} = \tfrac{4}{2} = 2; \\F_y = \tfrac{4 - 2}{2}= \tfrac{2}{2} = 1; \\ F_z = \tfrac{1 + 1}{2} = \tfrac{2}{2} = 1\\ F = F(2; 1; 1)$

Рассмотрим ∆BAF:

$A(-1; 0; 5); \: B(1; 4; 1); \: F(2; 1; 1) \\ \small{AB =\sqrt{(-1 - 1)^{2} + (0 - 4)^{2} + (5 - 1)^{2}} } = \\ \small{ = \sqrt{( - 2)^{2} {+} ( - 4)^{2} {+ } {4}^{2} } {= } \sqrt{4 {+ }16 {+} 16} } {= }\sqrt{36} {= }6 \\ \small{AF =\sqrt{(-1 - 2)^{2} + (0 - 1)^{2} + (5 - 1)^{2}} } = \\\small{ \sqrt{ {( - 3)}^{2} {+} {( - 1)}^{2} + {4}^{2} \: } {= } \sqrt{9 + 1 + 16} = \sqrt{26} } \\ \small{BF =\sqrt{(1- 2)^{2} + (4 - 1)^{2} + (1 - 1)^{2}} } = \\ \sqrt{ {( - 1)}^{2} + {3}^{2} + {0}^{2} } = \sqrt{10}$

итак:

$AB =6;\: AF=\sqrt{26};\:BF=\sqrt{10}$

Заметим, что

$AB =6;\: AF=\sqrt{26};\:BF=\sqrt{10} \\ {\sqrt{26}}^{ \:2} + {\sqrt{10}}^{ \:2} = 26 + 10 = 36 = {6}^{2} \\ \\ AF^{2} + BF^{2} =AB ^{2} \quad \: \quad\quad\quad\quad\quad$

Соответственно,

∆ABF - прямоугольный, с гипотенузой АВ,

т.е. уг.F = 90° => AF _|_ BC

а значит:

$\angle(AFB) =90^o;\\ \cos \angle(AFB)= \cos 90^{o} =0$

Примечание:

Также можно изначально рассмотреть ∆АВС:

- найти длины АВ, АС, ВС.

- заметить, что АВ = АС, сделать вывод,

что ∆АВС - равнобедренный с основанием ВС

- Из св-в равноб. ∆-ков (медиана, проведенная к основанию равноб ∆ка, является также и его высотой) сделать вывод, что AF _|_ BC

- AF _|_ BC => уг.АFB = 90° => cos (уг.AFB) = 0

Всё.