Question

|х - 1| + |x+2|≤ |x-3|+4

Answer 1

$|x-1|+|x+2|\leq|x-3|+4$

Найдём нули каждого модуля и проверим, являются ли эти значения решениями неравенства:

$x-1=0;\ \ \ x=1\\|1-1|+|1+2|\leq|1-3|+4\\0+3\leq2+4\\3\leq6$

Верное неравенство. Число 1 является решением неравенства.  

$x+2=0;\ \ \ x=-2\\|-2-1|+|-2+2|\leq|-2-3|+4\\3+0\leq5+4\\3\leq9$

Верное неравенство. Число (-2) является решением неравенства.

$x-3=0;\ \ \ x=3\\|3-1|+|3+2|\leq|3-3|+4\\2+5\leq0+4\\7\leq4$

Неверное неравенство. Число 3 не является решением неравенства.

Полученные три точки разбивают числовую прямую на 4 интервала. В каждом интервале открываем модуль по правилу:

$|a|=\displaystyle\left \{ {{a;\ a\geq0} \atop {-a;\ a<0}} \right.$

Открыв модули, решаем обычные линейные неравенства.

$1)\ x<-2$  -  внутри каждого модуля будут отрицательные числа.

$-(x-1)-(x+2)\leq-(x-3)+4\\-x+1-x-2\leq-x+3+4\\-x-x+x\leq3+4-1+2\\-x\leq8;\ \ \ x\geq-8\\\\\displaystyle\left \{ {{x<-2} \atop {x\geq-8}} \right. \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \boxed{\boldsymbol{-8\leq x<-2}}$

$2)~-2< x<1$  -  внутри второго модуля будет положительное число, внутри первого и третьего модуля - отрицательные числа.

$-(x-1)+(x+2)\leq-(x-3)+4\\-x+1+x+2\leq-x+3+4\\-x+x+x\leq3+4-1-2\\x\leq4\\\\\displaystyle\left \{ {{-2< x<1} \atop {x\leq4}} \right. \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \boxed{\boldsymbol{-2<x<1}}$

$3)~1< x<3$  -  внутри третьего модуля будет отрицательное число, внутри первого и второго модуля - положительные числа.

$(x-1)+(x+2)\leq-(x-3)+4\\x-1+x+2\leq-x+3+4\\x+x+x\leq3+4+1-2\\3x\leq6;\ \ \ \ x\leq 2\\\\\displaystyle\left \{ {{1 <x<3} \atop {x\leq2}} \right. \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \boxed{\boldsymbol{1<x\leq2}}$

$4)~x>3$   -  внутри трёх модулей будут положительные числа.

$x-1+x+2\leq x-3+4\\x+x-x\leq-3+4+1-2\\x\leq0\\\\\displaystyle\left \{ {{x>3} \atop {x\leq0}} \right. \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \boxed{\boldsymbol{x\in\varnothing}}$

Объединяем все решения:

$[-8;-2)\cup\{-2\}\cup(-2;1)\cup\{1\}\cup(1;2]=[-8;2]$

Ответ: $x\in[-8;2]$