Question

Найдите минимальное число, имеющее сумму цифр 21, оканчивающееся на 11 и
делящееся на 11

Answer 1

Ответ:

64911

Пошаговое объяснение:

Наше число не может быть 11, так как сумма цифр 2

Наше число не может быть трехзначным, так как если наше число $\overline{x11}$, то его сумма цифр $x+1+1$ максимум $9+1+1=11$

Наше число не может быть четырехзначным, так как если наше число $\overline{xy11}$, то его сумма цифр $x+y+1+1$ максимум $9+9+1+1=20$

Рассмотрим пятизначные числа

$\overline{xyz11}$

сумма цифр 21, т.е. $x+y+z+1+1=21$. Тогда $x+y+z=19$

Вспомним признак делимости на 11:

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места, делится на 11.

То есть число $\overline{xyz11}$ делится на 11 тогда и только тогда, когда $|(x+z+1)-(y+1)|$ делится на 11

$|(x+z+1)-(y+1)|~\vdots~11\\|(x+z+1-y-1)|~\vdots~11\\|(x+z-y)|~\vdots~11$

Начнем перебор значений этой разности

1.  $x+z-y = 0$

$\displaystyle \left \{ {{x+y+z=19} \atop {x+z=y}} \right. \\\\\left \{ {{x+y+z=19} \atop {x+z=y}} \right. \\\\\left \{ {{2y=19} \atop {x+z=y}}\right.\\\\y=\frac{19}2$

y - целое число. Противоречие. Продолжим перебор

2.  $x+z-y = 11$

$\displaystyle \left \{ {{x+y+z=19} \atop {x+z-y=11}} \right. \\\\\left \{ {{x+y+z=19} \atop {x+z=11+y}} \right.\\\\\left \{ {{11+y+y=19} \atop {x+z=11+y}} \right.\\\\\left \{ {{2y=8} \atop {x+z=11+y}} \right.\\\\\left \{ {{y=4} \atop {x+z=11+4}} \right.\\\\\left \{ {{y=4} \atop {x+z=15}} \right.$

Наименьшее значение числа $\overline{xyz11}$ будет тогда, когда будет наименьшее значение у первого разряда (х) при данных условиях.

Помним, что $0\le x\le9$ и $0\le z\le9$

Тогда наименьшее значение х это 6.

$x=6\\z=15-x=15-6=9$

Если бы х было бы хотя бы 5, то z было бы хотя бы 15-5=10, что противоречит условию $0\le z\le9$

Получили, что $x=6,~y=4,~z=9$, т.е. искомое число $64911$

Проверка:

$64911\\6+4+9+1+1=10+10+1=21\\64911=5901\cdot11$