Предмет: Математика, автор: lemurity

Вычислить интеграл с пошаговым решением

Приложения:

Ответы

Автор ответа: Miroslava227
2

Ответ:

\int\limits \sqrt{ {e}^{2x}  + 1} dx \\

Замена1:

2x = u \\ 2dx = du \\ dx =  \frac{du}{2}

 \frac{1}{2} \int\limits \sqrt{ {e}^{u} + 1 } du \\

Замена2

 {e}^{u}  + 1 = t  \\  {e}^{u} = t - 1 \\ e {}^{u} du = dt \\  du = \frac{dt}{ {e}^{u} }  =  \frac{dt}{t - 1}

 \frac{1}{2} \int\limits \sqrt{t}  \times  \frac{dt}{t - 1}  \\

Замена3:

 \sqrt{t} =  w \\ t = w {}^{2}  \\ dt = 2wdw

 \frac{1}{2} \int\limits \frac{2w \times wdw}{w {}^{2} - 1 }  = \int\limits \frac{w {}^{2} dw}{w {}^{2}  - 1}  =  \\  = \int\limits \frac{ {w}^{2}  - 1 + 1}{w {}^{2}  - 1} dw = \int\limits(1 +  \frac{dw}{w {}^{2}  - 1} ) =  \\  = w +  \frac{1}{2}  ln( | \frac{w - 1}{w + 1} | )  + C =

 =  \sqrt{t}  +  \frac{1}{2}  ln( | \frac{ \sqrt{t}  - 1}{ \sqrt{t} + 1 } | )  + C =  \\  =  \sqrt{ {e}^{u}  + 1}  +  \frac{1}{2}  ln( | \frac{ \sqrt{ {e}^{u}  + 1}  - 1}{ \sqrt{  {e}^{u} + 1  }  + 1} | )  + C=  \\  =  \sqrt{ {e}^{2x}  + 1}  +  \frac{1}{2}  ln( | \frac{ \sqrt{ {e}^{2x}  + 1} - 1 }{ \sqrt{ {e}^{2x} + 1 }  + 1} | )  + C

Похожие вопросы