Question

Имеется 110 мужчин. Найти вероятность того, что:
•k(k=0,1,2) человек родились 8 марта;
•хотя бы 1 из них родился 8 марта.

Answer 1

Ответ:

1) 0,740, 0,223, 0,033; 2) 0,260

Пошаговое объяснение:

Будем считать, что вероятность родиться 8 марта равна

$p=\dfrac4{4\cdot365+1}=\dfrac4{1461}$

(Это число получено из допущения, что родиться можно в любой день с одинаковой вероятностью, и високосные года — каждые 4 года. Если забыть о високосных годах, можно принять p равным 1/365)

Тогда вероятность не родиться 8 марта равна q = 1 - p.

1) Вероятность, что ровно k из n независимых испытаний завершатся успехом, описывается схемой Бернулли. Такая вероятность равна

$C_n^kp^kq^{n-k}\equiv\dfrac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k}$

Поэтому точные ответы для трёх случаев можно записать как

$C_{110}^0p^0q^{110-0}=q^{110}\approx0.740$

$C_{110}^1p^1q^{110-1}=110pq^{109}\approx0.223$

$C_{110}^2p^2q^{110-2}=\dfrac{110\cdot109}{2}p^2q^{108}=5995p^2q^{108}\approx0.033$

Биномиальное распределение можно приблизить распределением Пуассона, при этом получаются пприближенные ответы. Для k успехов из n испытаний формула выглядит как

$\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\quad\lambda=np$

В данном случае λ = 110p ≈ 0,3

Для k = 0, 1, 2 получаются такие выражения:

$e^{-\lambda}\approx0.740$

$\lambda e^{-\lambda}\approx0.223$

$\dfrac{\lambda^2}2e^{-\lambda}\approx 0.034$

2) Вероятность противоположного события (ровно 0 родились 8 марта) равна 0,740. Тогда вероятность того, что хоть кто-то родился 8 марта, равна 1 - 0,740 = 0,260.