Question

2(sin⁶x+cos⁶x)-3(sin⁴x+cos⁴x)=cos2x

Answer 1

$2(\sin^6x+\cos^6x)-3(\sin^4x+\cos^4x)=\cos2x$

Преобразуем степени синусов:

$2((\sin^2x)^3+\cos^6x)-3((\sin^2x)^2+\cos^4x)=\cos2x$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и формулой косинуса двойного угла:

$2((1-\cos^2x)^3+\cos^6x)-3((1-\cos^2x)^2+\cos^4x)=2\cos^2x-1$

Воспользуемся формулами куба разности и квадрата разности:

$2(1-3\cos^2x+3\cos^4x-\cos^6x+\cos^6x)-\\-3(1-2\cos^2x+\cos^4x+\cos^4x)=2\cos^2x-1$

Упростим выражения в скобках:

$2(1-3\cos^2x+3\cos^4x)-3(1-2\cos^2x+2\cos^4x)=2\cos^2x-1$

Раскроем скобки:

$2-6\cos^2x+6\cos^4x-3+6\cos^2x-6\cos^4x-2\cos^2x+1=0$

После приведения подобных получим:

$-2\cos^2x=0$

$\cos x=0$

$x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

Ответ: $\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$