Question

График функции y = f (x) приведен на рисунке. Так каково значение интеграла?

Answer 1

Ответ:

По графику находим  $f(0)=1\ ,\ \ f(2)=3$  .

$\int \, \dfrac{f'(x)}{1+f(x)}\, dx=\Big[\ t=1+f(x)\ ,\ \ dt=(1+f(x))'\, dx=f'(x)\, dx\ \Big]=\\\\\\=\int \dfrac{dt}{t}=ln|t|+C=ln|1+f(x)|+C\ \ ;\\\\\\\int \limits _0^2\, \dfrac{f'(x)}{1+f(x)}\, dx=ln|\, 1+f(x)\, |\, \Big|_0^2=ln|1+3|-ln|1-0|=ln4-\underbrace{ln1}_{0}=ln4$