Question

8. Из отрезка [-10;10] случайным образом выбирают два числа. Какова вероятность, что их сумма отрицательна, а произведение положительно?

Answer 1

Ответ:

$P= \frac{1}{4}$

Пошаговое объяснение:

Дано:

$a\in [-10; 10]; \: b \in [-10; 10]$

Найти:

$P( \{a+b<0 \} \: \cap \: \{ab >0 \} ) = ?$

Решение

Рассмотрим вначале в каких случаях произведение а•b будет положительным:

$ab > 0 < = > \begin{cases} a > 0 \: \cup\:b > 0 \: \: \: \: \: (1) \\ a < 0 \: \cup\:b < 0\: \: \: \: \: (2)\end{cases}$

Мы выяснили, что а, b - должны быть одного знака: либо одновременно положительными (1), либо одновременно отрицательными(2)

При иных вариантах выбора a, b - условие не будет выполняться, они нам "неинтересны"

Теперь рассмотрим, случаи (1) и (2) на удовлетворение условию отрицательной суммы.

$(1) \: a {> }0 \: \cup\:b {> }0 \: = > \: a {+} b {>}{ 0} \notin \{ a {+ }b { < }0 \}\\(2) \: a { < }0 \: \cup\:b { < }0 \: = > \: a {+} b { < }{ 0} \in \{ a {+ }b { < }0 \}$

Мы выяснили, что условие отрицательной суммы

- в случае (1) НЕ выполняется

- в случае (2) - выполняется

Следовательно, при случайном выборе а, b из отрезка [-10; 10] вероятность, что

$P( \{a+b<0 \} \: \cap \: \{ab >0 \} ) = \\ = P\{a{<}0 \cap b{<}0 \} = P\{a{<}0\} \times P\{b{<}0\}$

С учетом

$a\in [-10; 10]; \: b \in [-10; 10]$

получаем, что для выполнения условий нужно:

$a\in [-10; 0); \: b \in [-10; 0)$

А вероятность попадания а, b в заданный отрезок равна отношению длин полученного отрезка к исходному

$P(a\in [-10; 0)) = \frac{10}{20 }= \frac{1}{2} ; \\ \: P(b \in [-10; 0) ) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

А значит искомая вероятность равна

$P = P_{1} \times P_{2} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Ответ:

Вероятность Р равна ¼ или 25%