Question

Прошу Вас помогите пожалуйста с математикой. Нужна помощь с 4,5,6 заданием. Совсем не идёт. Заранее благодарю

Answer 1

Ответ:

4.

$\int\limits \frac{x - 2}{ {x}^{2} - 4x + 3 } dx$

Производную знаменателя (2х-4) делаем в числителе

$\frac{1}{2} \int\limits \frac{2x - 4}{ {x}^{2} - 4x + 3 } dx = \frac{1}{2} \int\limits \frac{d( {x}^{2} - 4x + 3) }{ {x}^{2} - 4x + 3 } = \\ = \frac{1}{2} ln( | {x}^{2} - 4x + 3 | ) + C$

5.

$\int\limits \frac{2x + 3}{ {x}^{2} + 2x + 10 } d x$

Делаем в числителе производную знаменателя (2х+2)

$\int\limits \frac{2x + 2 + 1}{ {x}^{2} + 2x + 10 } dx = \int\limits \frac{(2x + 2)dx}{ {x}^{2} + 2x + 10} + \int\limits \frac{dx}{ {x}^{2} + 2x + 10}$

Во втором интеграле нужно в знаменателе выделить квадрат суммы

$\int\limits \frac{(2x + 2)dx}{ {x}^{2} + 2x + 10 } + \int\limits \frac{dx}{ {x}^{2} + 2x + 1 + 9} = \\ = \int\limits \frac{d( {x}^{2} + 2x + 10)}{ {x}^{2} + 2x + 10 } + \int\limits \frac{dx}{ {(x + 1)}^{2} + {3}^{2} } = \\ = ln( | {x}^{2} + 2x + 10 | ) + \int\limits \frac{d(x + 1)}{ {(x + 1)}^{2} + {3}^{2} } = \\ = ln( | {x}^{2} + 2x + 10| ) + \frac{1}{3} arctg( \frac{x + 1}{3} ) + C$

6.

$\int\limits \frac{dx}{2 {x}^{2} + 5x + 7 }$

Выделяем квадрат суммы

$2 {x}^{2} + 5x + 7 = \\ = ( \sqrt{2} x) {}^{2} + 2 \times \sqrt{2} x \times \frac{5}{2 \sqrt{2} } + \frac{25}{8} + \frac{31}{8} = \\ = ( \sqrt{2} x + \frac{5}{2 \sqrt{2} } ) {}^{2} + ( \frac{ \sqrt{31} }{2 \sqrt{2} } ) {}^{2}$

$\int\limits \frac{dx}{( \sqrt{2}x + \frac{5}{2 \sqrt{2} } ) {}^{2} + ( \frac{ \sqrt{31} }{2 \sqrt{2} }) {}^{2} } = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \\ = \frac{1}{ \sqrt{2} } \int\limits \frac{d( \sqrt{2} x + \frac{5}{2 \sqrt{2} }) }{( \sqrt{2}x + \frac{5}{2 \sqrt{2} } ) {}^{2} + ( \frac{ \sqrt{31} }{2 \sqrt{2} }) {}^{2} } = \\ = \frac{1}{ \sqrt{2} \times \frac{ \sqrt{31} }{2 \sqrt{2} } } arctg( \frac{ \sqrt{2}x + \frac{5}{2 \sqrt{2} } }{ \frac{ \sqrt{31} }{2 \sqrt{2} } } ) + C = \\ = \frac{2}{ \sqrt{31} } arctg( \frac{4x + 5}{ \sqrt{31} } ) + C$

Answer 2

решения и пояснения к нему во вложении

обычно интегралы, содержащие квадратный трехчлен в знаменателе, берут по алгоритму. 1) находят производную от знаменателя, потом пытаются представить числитель через эту производную, и иногда делают еще и третий шаг- выделяют квадрат суммы или разности двух выражений  из знаменателя; эти действия всегда приводят вас к табличным интегралам.