Question

100 баллов! срочно! С подробным пошаговым решением!
$\sqrt[3]{2 + \sqrt{5} } + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5} }$
​

Answer 1

∛(2+√5)+∛(2-√5)=?

Введем замену, пусть ∛(2+√5)=а; ∛(2-√5)=с;

тогда а³+с³=2+√5+2-√5=4;

а*с=∛(2+√5)*∛(2-√5)=∛(2+√5)*∛(2-√5))=∛(2²-(√5)²)=∛(4-5)=-1;

а²-ас+с²=((а²+2ас+с²)-3ас)=(а+с)²-3ас=(а+с)²-3*(-1)=(а+с)²+3;

а³+с³=(а+с)(а²-ас+с²)=4; пусть а+с=х, тогда х*(х²+3)=4; раскроем скобки.

х³+3х-4=0; х³+3х-3-1=0;  (х³-1)+3*(х-1)=0; (х-1)*(х²+х+1)+3(х-1)=0⇒

(х-1)*(х²+х+1+3)=0; х-1=0; х=1; х²+х+1+3=0; х²+х+4=0;  дискриминант равен

1-16=-15- отрицателен, корней нет.

Вернемся к замене. а+с=1; ∛(2+√5)=а; ∛(2-√5)=с; поэтому

∛(2+√5)+ ∛(2-√5)=1

Ответ 1