. Укажите соответствующий вывод для каждого неравенства. Обоснуйте свой ответ.
а) ;
b) ;
c) -;
d) .
1) Неравенство не имеет решений.
2) Решением неравенства является вся числовая прямая.
3) Решением неравенства является одна точка.
4) Решением неравенства является закрытый промежуток.
5) Решением неравенства является открытый промежуток.
6) Решением неравенства является объединение двух промежутков.
Ответы
Ответ:
В решении.
Объяснение:
Укажите соответствующий вывод для каждого неравенства. Обоснуйте свой ответ.
а) х² + 4х + 10 >= 0;
Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:
х² + 4х + 10 = 0
D=b²-4ac =16 - 40 = -24
D < 0
Уравнение не имеет действительных корней.
Значит, неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда.
Подставить в неравенство произвольное значение х:
х = 0;
0² + 4*0 + 10 > 0
10 > 0, значит, неравенство выполняется всегда.
Решение: (-∞; +∞). Ответ 2).
b) x² + 10x - 25 > 0;
Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:
х² + 10х - 25 = 0
D=b²-4ac = 100 + 100 = 200 √D=√100*2 = 10√2
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(-10-10√2)/2
х₁= -5 - 5√2 ≈ -12,1;
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(-5+10√2)/2
х₂= -5 + 5√2 ≈ 2,1;
Теперь начертить СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает данное уравнение, ветви направлены вверх, парабола пересекает ось Ох при х= -5 - 5√2 (≈ -12,1) и х= -5 + 5√2 (≈ 2,1), отметить эти точки схематично, смотрим на график.
По графику ясно видно, что у > 0 (как в неравенстве), при значениях х от - бесконечности до -12,1 и от х = 2,1 до + бесконечности.
Решение неравенства: х∈ (-∞; -5 - 5√2)∪(-5 + 5√2; +∞). Ответ 6).
c) -x² + 3x + 2 <= 0;
Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:
-x² + 3x + 2 = 0/-1
х² - 3х - 2 = 0
D=b²-4ac = 9 + 8 = 17 √D=√17
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(3-√17)/2
х₁= 1,5 - √17/2 ≈ -0,6;
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(3+√17)/2
х₂= 1,5 + √17/2 ≈ 3,6;
Теперь начертить СХЕМУ параболы (ничего вычислять не нужно), которую выражает данное уравнение, ветви направлены вниз, парабола пересекает ось Ох при х= -0,6 и х= 3,6, отметить эти точки схематично, смотрим на график.
По графику ясно видно, что у < 0 (как в неравенстве), при значениях х от - бесконечности до х= -0,6 и от 3,6 до + бесконечности.
Решение неравенства (-∞; -1,5 - √17/2] ∪ [1,5 + √17/2; +∞). Объединение. Ответ 6.
Неравенство нестрогое, скобки квадратные, а знаки бесконечности всегда с круглой скобкой.
d) -x² - 4 > 0.
Приравнять к нулю и решить как квадратное уравнение:
-х² - 4 = 0/-1
х² + 4 = 0
х² = -4
D < 0
Уравнение не имеет действительных корней.
Значит, неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда.
Подставить в неравенство произвольное значение х:
х = 0;
-0² - 4 > 0
-4 > 0 не выполняется.
Значит, неравенство не имеет решений. Ответ 1).
Примечание: определение решения неравенства при помощи параболы - вспомогательное действие, его записывать никуда не нужно. Записывать: приравнять к нулю; решить уравнение и определить его корни; на черновике начертить схему графика; записать решение неравенства.
1) Неравенство не имеет решений.
2) Решением неравенства является вся числовая прямая.
3) Решением неравенства является одна точка.
4) Решением неравенства является закрытый промежуток.
5) Решением неравенства является открытый промежуток.
6) Решением неравенства является объединение двух промежутков.