В окружности с центром в точке О перпендикулярно хорде MN проведен диаметр EF, P – точка их пересечения, PE > PF, EN = 14 см. Найдите периметр треугольника EMN, если угол РNE на 30° больше угла РEN.
Ответы
Ответ:
Периметр Δ EMN = 14 см
Объяснение:
Обозначим ∠РEN = x
⇒ ∠РNE = x+30
Так как EF ⊥ MN ⇒ ∠EPN = 90°
Рассмотрим Δ EPN:
Зная что сумма углов любого треугольника = 180°
⇒ ∠РEN + ∠РNE + ∠EPN = 180
Подставляем значения, получаем уравнение:
x + x + 30 + 90 = 180
2x = 180 - 90 - 30
2x = 60
x = 60/2
x = 30° ⇒ ∠РEN = 30°
Зная что ∠РNE на 30° больше ∠ РEN
⇒ ∠РNE = 30° + 30° = 60°
Т.к. диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.
Отсюда следует, что MP=PN
Рассмотрим Δ EPN и Δ EPM:
У них MP=PN, ∠EPN = ∠EPM = 90°, а EP общая ⇒ эти треугольники равны ⇒ у них все стороны и углы соответственно равны.
⇒ ∠EMP = ∠ENP = 60°
Рассмотрим Δ EMN:
У него ∠EMN = ∠ENM = 60°
⇒ ∠MEN = 180° - (60° + 60°) = 60°
А треугольник у которого все углы равны - называется равносторонним ⇒ EN = MN = ME = 14 см
Зная длины всех сторон треугольника - вычисляем периметр:
P = EN + MN + ME = 14 + 14 + 14 = 42 см
