Question

Вычислить максимум функции z=1+15x-2x`2-xy-2y`2

Answer 1

Ответ: zmax=31.

Пошаговое объяснение:

1. Находим стационарные точки. Для этого находим и приравниваем к нулю первые частные производные z'x и z'y:

z'x=15-4*x-y=0

z'y=-x-4*y=0

Таким образом, полечена система уравнений:

15-4*x-y=0

-x-4*y=0

Решая её, находим x=4 и y=-1. Таким образом, существует лишь одна стационарная точка M(4;-1).

2. Находим вторые частные производные:

z"x=-4; z"xy=-1, z"y=-4

и вычисляем их значения в стационарной точке:

A=z"x(M)=-4; B=z"xy(M)=-1; C=x"y(M)=-4.

3. Вычисляем значение выражения A*C-B²=15. Так как 15>0, то в точке M функция имеет экстремум, и так как при этом A=-4<0, то это - максимум.

4. Подставляя в выражение для z значения x=4 и y=-1, находим максимум: zmax=1+15*4-2*4²-4*(-1)-2*(-1)²=31.