Question

решите деференциальное уравнение и укажите его частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(0)=2 ​

Answer 1

Ответ:

$y '= \frac{ {y}^{2} }{ {e}^{x} } \\ \frac{dy}{dx} = \frac{ {y}^{2} }{ {e}^{x} } \\ \int\limits \frac{dy}{ {y}^{2} } = \int\limits \frac{dx}{e {}^{x} } \\ \int\limits {y}^{ - 2}dy = \int\limits {e}^{ - x} dx \\ \frac{ {y}^{ - 1} }{ - 1} = - \int\limits {e}^{ - x} d( - x) \\ - \frac{1}{y} = - {e}^{x} + C \\ \frac{1}{y} = \frac{1}{ {e}^{x} } - C$

общее решение

$y(0) = 2$

$\frac{1}{2} = \frac{1}{ {e}^{0} } - C \\ C= 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{y} = \frac{1}{ {e}^{x} } - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{y} = \frac{2 - {e}^{x} }{2 {e}^{x} } \\ y = \frac{2 {e}^{x} }{2 - e {}^{x} }$

частное решение