Question

Найти неопределенные интегралы методом замены переменной, с решением пожайлуста.

И прошу не писать просто так, что бы этот вопрос увидели те кто действительно понимает ,просто мне очень нужно решение, спасибо за понимание!!!​

Answer 1

Ответ:

Замена:

$\sqrt{x} = t \\ x = {t}^{2} \\ dx = 2tdt \\ \\ \int\limits \frac{ ln(1 + t) }{t {}^{2} + t} \times 2tdt = \int\limits \frac{2 ln(1 + t) }{1 + t} dt$

Замена:

$ln( 1 + t) = p \\ \frac{dt}{t + 1} = dp$

$\\ \int\limits2pdp = \frac{2 {p}^{2} }{2} + C= p {}^{2} + C = \\ = {ln}^{2} (t + 1) + C= {ln}^{2} ( \sqrt{x} + 1) + C$

Answer 2

Ответ:

$\int \dfrac{ln(1+\sqrt{x})}{x+\sqrt{x}}\, dx=\int \dfrac{ln(1+\sqrt{x})}{\sqrt{x}\cdot (\sqrt{x}+1)}\, dx=\Big[\ t=1+\sqrt{x}\ \ ,\ \ \sqrt{x}=t-1\ ,\\\\\\x=(t-1)^2\ ,\ dx=2(t-1)\, dt\ \Big]=\int \dfrac{lnt}{(t-1)\cdot t}\cdot 2(t-1)\, dt=2\int \dfrac{lnt}{t}\, dt=\\\\\\=2\int lnt\cdot \dfrac{dt}{t}=\Big[\ u=lnt\ ,\ du=\dfrac{dt}{t}\ \Big]=2\int u\cdot du=2\cdot \dfrac{u^2}{2}+C=ln^2t+C=\\\\\\=ln^2(1+\sqrt{x})+C$