Помогите пожалуйста
Найти частное решение дифференциального уравнения
Ответы
Ответ: y0=e^(-6*x).
(Пошаговое объяснение:
Перед нами - ЛДУ 1 порядка, перепишем его в виде y'+4*x³*y+4*(3/2-x³)*e^(-6*x)=0. Полагаем y=u*v ⇒ y'=u'*v+u*v' и тогда уравнение перепишется так: u'*v+u*v'+4*x³*u*v+6*e^(-6*x)-4*x³*e^(-6*x)=0, или v*(u'+4*x³*u)+u*v'+6*e^(-6*x)-4*x³*e^(-6*x)=0. Так как одну из функций u или v мы можем выбрать произвольно, то поступим так с u и положим, чтобы она удовлетворяла условию u'+4*x³*u=0. Решая это ДУ, находим u=e^(-x⁴). Подставляя это выражение в уравнение u*v'+6*e^(-6*x)-4*x³*e^(-6*x)=0, получаем уравнение e^(-x⁴)*v'=4*x³*e^(-6*x)-6*e^(-6*x). Заменяя v' на dv/dx, приведём это уравнение к виду dv=4*x³*e^(x⁴-6*x)*dx-6*e^(x⁴-6*x)*dx, или dv=(4*x³-6)*e^(x⁴-6*x)*dx. А так как (4*x³-6)*dx=d(x⁴-6*x), то окончательно это уравнение примет вид: dv=e^(x⁴-6*x)*d(x⁴-6*x). Интегрируя, находим v=e^(x⁴-6*x)+C, где C - произвольная постоянная. Тогда y=u*v=e^(-6*x)+C*e^(-x⁴). Используя условие y(0)=1, получаем уравнение 1=1+C, откуда C=0. Тогда искомое частное решение y0=e^(-6*x).
Проверка: y0'=-6*e^(-6*x), -6*e^(-6*x)+4*x³*e^(-6*x)=4*x³*e^(-6*x)-6*e^(-6*x) - получено верное тождество. Значит, решение найдено верно.