Question

Убедиться, что дифференциальное уравнение однородное и решить его

Answer 1

Ответ:

$( {x}^{2} + 2xy)dx + xydy = 0 \\ xydy = - ( {x}^{2} + 2xy)dx \\ xyy' = - ( {x}^{2} + 2xy) \\ | \div {x}^{2} \\ \frac{y}{x} y' = - (1 + \frac{2y}{x} )$

$y'= f( \frac{y}{x} )$

Это однородное ДУ

Замена:

$\frac{y}{x} = u \\ y' = u'x + u \\ \\ u(u'x + u) = - (1 + 2u) \\ u'x + u = \frac{ - 1- 2u}{u} \\ u'x = \frac{ - 1 - 2u - u {}^{2} }{u} \\ \frac{du}{dx} x = - \frac{ {u}^{2} + 2u + 1}{u} \\ \int\limits \frac{u}{u {}^{2} + 2 u + 1} du = - \int\limits\frac{1}{x} dx \\ \frac{1}{2} \int\limits \frac{2udu}{u {}^{2} + 2u + 1} = - ln( |x| ) + c \\ \frac{1}{2} \int\limits \frac{2u + 2 - 2}{ {u}^{2} + 2u + 1} du = - ln( |x| ) + c \\ \frac{1}{2} \int\limits \frac{2u + 2}{u {}^{2} + 2u + 1} du - \int\limits \frac{d(u + 1)}{(u + 1) {}^{2} } = - ln( |x| ) + C\\ \frac{1}{2} \int\limits \frac{d(u {}^{2} + 2u + 1)}{u {}^{2} + 2 u + 1} + \frac{1}{u + 1} = - ln( |x| ) + C \\ \frac{1}{2} ln( | {u}^{2} + 2u + 1 | ) + \frac{1}{u + 1} = - ln( |x| ) + C \\ \frac{1}{2} ln( | \frac{ {y}^{2} }{ {x}^{2} } + \frac{2y}{x} + 1 | ) + \frac{1}{ \frac{y}{x} + 1 } = - ln( |x| ) + C \\ \frac{1}{2} ln( | \frac{ {y}^{2} }{ {x}^{2} } + \frac{2y}{x} + 1 | ) + \frac{x}{y + x} = - ln( |x| ) + C$

общее решение