Question

Даны точки C(1;2; 1) ,A(1;3;0) , B(2;3; 1) . Вычислите угол между векторами AC и AB​
(с полным решением пж)

Answer 1

Ответ:     φ = 60° .

Объяснение:

A(1;3;0) , B(2;3; 1) ,  C(1;2; 1) ;

Вектори  АС( 0 ; - 1 ; 1 ) , АВ( 1 ; 0 ; 1 ) ; AC * AB = 0*1 + ( -1 )*0 +1*1 = 1 ;

| AC | = √( 0² + ( -1 )² + 1² ) = √ 2 ;   | AB | = √( 1² + 0² + 1² ) = √ 2 ;

cosφ = ( AC*AB )/ |AC| |AB| = 1/ (√2 * √2 ) = 1/2 ;  cosφ = 1/2 ;  φ = 60° .

Answer 2

Ответ:

60°.

Объяснение:

Найдем координаты векторов.

Чтобы найти координаты вектора надо от координат конца вектора вычесть координаты начала вектора

$\vec {AC}(1-1;2-3;1-0);\\\vec {AC}(0;-1;1);\\\vec {AB}(2-1;3-3;1-0);\\\vec {AB}(1;0;1)$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec a(x{_1};y{_1};z{_1}),\vec b(x{_2};y{_2};z{_2})$

по формулам:

$\vec a\cdot \vec b=x{_1} \cdot x {_2}+y{_1} \cdot y {_2}+z{_1}\cdot z{_2};\\\\\vec a\cdot \vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot cos \alpha ,$где α - угол между векторами.

Длина вектора определяется по формуле:

$|\vec a|=\sqrt{x{_1}^{2} +y{_1}^{2}+z{_1} ^{2} }$

$|\vec b|=\sqrt{x{_2}^{2} +y{_2}^{2} +z{_2}^{2} }$

Тогда косинус угла между векторами определяется по формуле:

$cos\alpha =\dfrac{x{_1}\cdot x{_2}+y{_1}\cdot y{_2}+z{_1}\cdot z{_2}}{\sqrt{x{_1}^{2}+y{_1} ^{2}+z{_1} ^{2} \cdot } \sqrt{x{_2}^{2}+y{_2}^{2} +z{_2}^{2} } } ;\\\\cos\alpha =\dfrac{0\cdot1+(-1)\cdot0+1\cdot1}{\sqrt{0^{2}+(-1)^{2} +1^{2} } \cdot\sqrt{1^{2}+0^{2} +1^{2} } } =\dfrac{0+0+1}{\sqrt{0+1+1}\cdot \sqrt{1+0+1} } =$

$=\dfrac{1}{\sqrt{2} \cdot\sqrt{2} } =\dfrac{1}{2}$

Тогда α=60° и угол между векторами равен 60°.