ПОЖАЛУЙСТА ПОМОГИТЕ, ОТДАЮ ВСЕ БАЛЛЫ КОТОРЫЕ ЕСТЬ!
Исследуйте функцию на выпуклость и точки перегиба: y=x^4 - 4x^3 - 18x^2 + x - 3
Ответы
Ответ:
Объяснение:
y=x⁴ - 4x³ - 18x² + x - 3
Найдем вторую производную, ее нули и промежутки знакопостоянства
y'=4x³ - 12x² - 36x + 1
y''=12x² - 24x - 36=12(x² - 2x - 3)
y''=12(x² - 2x - 3)
y''=0
12(x² - 2x - 3)=0
x² - 2x - 3=0
Найдем дискриминант квадратного уравнения:
D = b² - 4ac = (-2)² - 4·1·(-3) = 4 + 12 = 16
Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:
x₁ = (2 - √16) /2 = (2 - 4 )/2 = -2 /2 = -1
x₂ = (2 + √16) /2 = ( 2 + 4)/ 2 = 6 /2 = 3
нанесем корни на числовую прямую и определим знак второй производной на каждом интервале
---------------------(-1)-------------------3----------------->
по свойству квадратичной функции если коэффициент при х² больше 0 то ветки параболы направлены вверх в нашем случае коэффициент равен 12>0
тогда знаки квадратичной функции на интервалах будут (+) (-) (+)
---------------------(-1)-------------------3----------------->
(+) (-) (+)
Y''>0 Y''<0 Y''>0
если Y''>0 то график функции вогнут вниз
если Y''<0 то график функции выпуклый вверх
точки где Y''=0 и вторая производная меняет знак это точки перегиба
таким образом
1) при х∈(-∞; -1)∪(3;+∞) y''>0 график функции вогнутый вниз
2) при х∈(--1;3) y''<0 график функции выпуклый вверх
3) точки с абсциссами х={-1;3} это точки перегиба
Иллюстрация к задаче на картинке
